兼具強固性的下注建議 - 凱利公式 (Kelly Formula)

先前曾讀了一本很合我胃口的書《下重注的本事:當道投資人的高勝算法則》,由於內容相當符合我的投資哲學,因此除了有趣的凱利公式(亦稱凱利準則Kelly Criterion)外,其他內容很容易的就消化完畢了。但是,隔了那麼長的時間後,凱利公式仍會不時地浮現在我腦中,催促著我趕快好好地把它了解。那種感覺就像是魚刺卡在喉嚨般,難以不注意到它。不過這幾天,我終於把魚刺移除了!

~ I. 公式介紹 ~
先簡單解釋一下何謂標題中提到的「強固」。該名詞為塔雷伯(Nassim Nicholas Taleb)所提出,意指不會有爆炸的危險。因為若使用凱利公式所建議的下注比例,最糟的狀況也只是損失下注金額,不會波及到其餘的本金。這跟某些大量舉債以產生穩定收益的投資方法是截然不同的(塔雷伯會將此類歸為「脆弱」)。

凱利公式最初發明的目的是用來處理通訊上的雜訊問題,但後來被愛德華·索普(Edward Oakley Thorp)應用在賭場的21點上,並且發揚光大。不過,賺大錢的代價就是被各家賭場視為眼中釘,並且禁止進入。於是索普轉戰剛萌芽的選擇權市場,並發明了最早的選擇權定價模型─布雷克-休斯模型(Black-Scholes Model),從市場中大賺一筆。但是由於索普從未發表此模型,因此後來該公式便以發表者費雪·布雷克(Fischer Black)及麥倫·休斯(Myron Scholes)來命名(順帶一提,麥倫後來爆炸了)。

凱利公式的樣貌如下:
其中
由於公式中含有一個扣除項目,因此只要勝率不是100%,基本上你的本金是不會全押上的(但若是穩贏的賭局,為何不全押?)。另外,仔細一看後,會發現該公式的分子其實是期望值。這也意味著,若賭局的期望值小於0的話,根本沒必要繼續玩下去(但若你是個純粹的賭徒則另當別論了)。

~ II. 實戰應用 - 賭局與股市 ~
好了,在你認識了凱利公式後,該怎麼應用在實際賭局上呢?讓我們假設你找到了一個擲骰子的賽局,其規則如下:
碰到這樣的賭局,凱利公式會怎麼建議我們呢?我們試著將賭局條件帶進公式看看。首先是公式參數:
有了計算前提後,便可得出下注比例:
上述推導所得出的2.78%是最佳化的下注建議,該比例可在控制虧損金額的情況下,令財富達到最快的增長速度。以100元的本金而言,這場賭局最多只能下2元。上述案例因為報酬和勝率都相當不吸引人,因此凱利公式冷靜地叫你用微薄的比例下注就好。

想知道凱利公式怎麼發明出來及公式證明的讀者可以參考這裡(我個人是不會去做推演啦,就像學工程的人很少會去琢磨 e 的證明,反正會用就好了)。

由於凱利公式一般都是使用在明確金額的賽局上,但若想拿來應用在股市上的話,該怎麼辦?其實很簡單,只需要將賠率的計算須由損益金額改為本金的報酬率即可,如下:
舉例來說,若你辛苦做了許多研究,終於發現了一檔超值股票。你評估了一下後,列出你對它的看法:
於是在上述前提下,可得到公式參數:
故便可求得:
因此根據凱利公式的建議,你對該股票的最大下注比例便是46%。但是請注意,凱利公式只是個參考,沒必要每次都下到最大注。以本例而言,或許你只要下10%比例便可。在如此嚴格控制虧損金額的情況下,你的投資將可由「強固」昇華至「反脆弱」。

~ III. 進階應用 - 多重可能結果的下注 ~
現在,我們可以讓股票的評估稍微複雜一點,以符合實際的狀況。上述例子中的你,重新評估後,決定修改列出你對該股票的看法:
對於這種多重可能的結果,該如何使用凱利公式呢?其實作法也是很簡單,首先要區分獲利和虧損的機率:
接下來便是計算賠率。但須注意的是,在報酬和虧損率的部分,需用平均值來計算。計算如下:
因此可得出賠率:
在公式前提都具備的情況下,便可開始計算下注比例。如下:
因此上式最後得出的36%便是下注的建議值。

藉由多重可能結果的條件,可使評估過程更為平滑,不再只拘泥於大賺或大賠的下注比例。此公式推演在書中並未提到(書中甚至沒給公式),而也就是這部分困擾了我許久。

~ IV. 投資組合控管 ~
學會單一個股的資金配置方法後,接下來便可以延伸至整體的投資組合。假設你辛苦做了許多研究,終於挑選出5檔令你滿意的股票。再經過評估與計算後,凱利公式對這5檔股票的下注比例如表1所示:
表1. 個別公司的下注建議

問題來了,下注資金總計為200%,已經超過本金了,那該怎麼辦?(千萬不要去舉債讓本金達到200%阿!)答案其實很簡單,只要將所有比例除以200%便可讓總計回復成100%了。於是經過調整後的資金配置將如表2所示:
表2. 個別公司的實際下注建議

由於實際的資金配置已經剩下建議值的一半,再加上個別股票間的關聯性低(除非你5檔都選同一個產業的類股),因此你的投資組合在價格波動和風險上將可獲得有效地保障1

這邊補充一下,《下重注的本事:當道投資人的高勝算法則》書中的作者帕波萊(Mohnish Pabrai)在帕波萊基金管理上,一律設定為10%。他認為雖然這樣的配置並非最佳化,但卻可以處理預估表現的失誤。舉例來說,他發現他認為應該表現最好的股票卻常會輸給預估表現第三、第四好的股票。縱然這樣的報酬比不過將80%資金重壓在少數幾檔股票上,但整體而言仍可令他滿意(這傢伙的年化報酬有28%阿...)。

~ V. 結論 ~
文章到這邊,相信各位已經學會基本的凱利公式及資金配置了。雖然你現在可能感覺有如神助,不過還是得記住,在股市之中,沒有什麼事情是確定的。須注意到,公式中的每一項參數都是由你自己評估後所訂出的。只要是主觀的參數設定,都很容易產生誤差。就像是本文的例子中,光是多出了兩項可能結果便會使下注比例降低10%。因此,一般狀況下,還是不要使用到最大下注比例,別對自己太有自信比較好。


註1: 補充說明,這裡的波動性及風險低是建立在「個別股票間的關聯性低」的這個要點。事實上凱利公式並不確保波動率,它只在乎最終的結果。


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